Indépendance - Exemple 3 : avec un tableau

On considère deux événements  \(\text A\)  et  \(\text B\)  dans un univers  \(\Omega\) .
Le tableau suivant résume les probabilités des intersections des événements et de leurs contraires.

Les événements  \(\text A\)  et  \(\text B\)  sont-ils indépendants ?

On lit dans le tableau :
\(P(\text A \cap \text B ) =0,4\)  ;
\(P(\text A \cap \overline{\text B} ) =0,3\)  ;
\(P(\overline{\text A} \cap \text B ) =0,2\)   ;
\(P(\overline{\text A} \cap \overline{\text B} ) =0,1\) .

Avec la formule des probabilités totales,  \(P(\text B) = P(\text A \cap \text B) + P( \overline{\text A} \cap \text B) =0,4 + 0,2 = 0,6\)  et   \(P(\text A) = P(\text A \cap \text B) + P( \text A \cap \overline{\text B}) =0,4 + 0,3 = 0,7\) . 
Donc  \(P(\text A) \times P(\text B) = 0,7 \times 0,6 = 0,42\) .
Comme  \(P(\text A \cap \text B ) \ne P(\text A) \times P(\text B)\) , on en déduit que les deux événements ne sont pas indépendants.